Les épreuves de maths au bac Sciences Mathématiques en Guinée

Ensembles de nombres:

• Corps des nombres complexes : module et arguments, représentation géométrique, $e^{i\theta}$, applications trigonométriques, racines $n$-èmes, applications à l'étude des similitudes, équation du second degré.
• Arithmétique : numération décimale et binaore, anneau Z, sous-groupes de Z, division euclidienne dans N et Z, congruences, anneau Z/nZ, nombres premiers, corps Z/pZ, décomposition en facteurs premiers, pgcd, ppcm

Applications :

(applications injectives/surjectives/bijectives et polynômes : fait en première)

Suites :

• Raisonnement par récurrence
• Suites monotones, convergentes (définition et propriétés), croissantes/décroissantes (+majorées/minorées), divergence vers $\pm\infty$, opérations sur les limites.

Probabilités:

• Dénombrement (arrangements, combinaisons, perutations etc : fait en 1ère), formule du binôme, équiprobabilté, loi binomiale.

Fonctions (réelles):

• Limites, fonctions continues sur un intervalle, fonctions dérivées, dérivée d'une composée (admis), existence de la dérivée de la réciproque (admis), résolutions d'équations et d'inéquations, extremums, branches infinies, asymptotes, position par rapport à l'asymptote. Exemples de fonctions : racines $n$-èmes, $x^\alpha$ avec $\alpha\in \mathbb R$, $a^x$ avec $a\in \mathbb R_+^*$. Composées.
• Intégration : primitives, Chasles etc, inégalité de la moyenne, IPP, valeurs aprchées, méthode des rectangles avec majoration du reste. Calculs d'aires.
• Équations différentielles : $f'=kf$, $f''=mf$, application aux sciences physiques.

Géométrie:

• Angles inscrits, angles orientés d'un couple de vecteurs, points cocycliques. Application des nombres complexes à la trigonomérie : linéarisatio,, conversions sommes-produits
• Barycentres (définition et lignes de niveau faits en première), calculs barycentriques, étude des fonctions de Leibniz vectorielle et scalaire.
• Isométries planes, application linéaire associée. Homothéties faites en 1ère. Similtudes. Applications affines (conservation du barycentre). COposition de transformations.
• Géométrie dans l'espace.
• Coniques. Définition bifocale, foyer et directrice. Équations cartésiennes réduites, équations paramétriques, tangente en un point

Exercice 1 (05 points)

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on considère les nombres :
\(a_n = 4 \times 10^n-1;\) \(b_n = 2 \times 10^n-1;\) \(c_n = 2 \times 10^n+1\)

1. a) Calculer \(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2, a_3, b_3\) et \(c_3\)
   b) Montrer que \(a_n\) et \(c_n\) sont divisibles par \(3\).
   c) Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à \(100\) donnée ci-dessous, que \(b_3\) est premier.
   d) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(b_n \times c_n=a_{2n}\).
   En déduire la décomposition en facteurs premiers de \(a\)
   e) Montrer que \(PGCD(b_n;c_n) = PGCD(b_n;2)\).
   En déduire que \(b_n\) et \(c_n\) sont premiers entre eux.
2. On considère l'équation \((E) : b_3x + c_3y = 1\) d'inconnues les entiers relatifs \(x\) et \(y\).
   a) Justifier le fait que l'équation \((E)\) possède au moins une solution.
   b) En appliquant l'algorithme d'Euclide aux nombres \(c_3\) et \(b_3\), déterminer une solution particulière de \((E)\).
   c) Résoudre l'équation \((E)\). Liste des nombres premiers inférieurs à \(100\) :
   \(2-3-5-7-11-13-17\)\(-19-23-29-31-37-41\)\(- 43-47-53-59-61 - 67\)\(- 71-73-79-83-89-97\)

Exercice 2 (05 points)

Partie1 : On considère la fonction \(p\) définie sur \(\Bbb C\) par \(p(z) = z^3-(3 +2i)z^2 + (1 + 5i)z +2 - 2i\).

1. a) Calculer \(p(i)\).
   b) Déterminer deux nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que: \(p(z) = (z-1)(z^2+ az + b)\)
2. Résoudre dans \( \Bbb C\), l'équation : \(z^2-(3 + i)z + 2 + 2i = 0\).
3. En déduire dans les solutions de l'équation \((E) : p(z) = 0\).

Partie2 : Le plan est muni d'un repère \((0; \vec u; \vec v)\) d'unité \(5 cm\). On pose \(z_0 = 2\) et \(\forall \in \Bbb N, z_{n+1} = -2\). On note \(A\), le point du plan d'affixe \(z_n\).

1. a) Calculer \(z_1\) et \(z_2\)
   b) Placer les points \(A_0\),\(A_1\), et \(A_2\) dans le plan complexe.
2. On considère la suite \(U\) définie par: \( \forall n \in N, U_n = |z_{n+1} - z_n| \)
   a) Justifier que \( \forall n \in \Bbb N, U_n =\frac{\sqrt 2}{2}|z_n|\)
   b) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison \(\frac{\sqrt 2}{2}\) et de premier terme \( \sqrt 2\)
   c) Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\).

Problème (10 points)

Partie A : On considere la fonction \(g\) définie sur \(]0; +\infty [\) par $g(x) = \frac {(x-1)^2}{x^2+1}+\ln x$.

1. Déterminer les limites de \(g\) aux bornes de son ensemble de définition
2. Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0;+\infty[,\) \(g'(x) = \frac {(x^2+1)^2-2x(1-x^2)}{x(x^2+1)^2}\)
3. a) Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0;+\infty[,\) \(2x(1 - x^2) <(x^2 + 1)^2\)
   b) En déduire le signe de \(g'(x)\).
   c) Dresser le tableau de variation de \(g\).
4. a) Démontrer que \(1\) est l'unique solution de l'équation \(g(x) = 0\)
   b) Démontrer que : \(g(x) <0 \iff 0 < x < 1\) et \(g(x) > 1\)

Partie B Soit \(f\) la fonction définie sur \([0; +\infty[\) par $f(x)=x\ln x -\ln(x^2+1)$ et $f(0)=0$. Soit \( (C)\) sa courbe représentative dans le repère orthonormé \( (0,I,J) \). (Unité graphique: \(1 cm\) en abscisse et \(2 cm\) en ordonnée).

1. Etudier la continuité de \(f\) en \(0\).
2. Démontrer que la courbe \((C)\) admet au point d'abscisse une demi-tangente verticale.
3. Calculer la limite de \(f\) en \(+\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\). En déduire une interprétation graphique.
4. a) Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0; +\infty[,\) \(f'(x) = g(x)\)
   b) Déterminer le sens de variation de \(f\)
   c) Dresser le tableau de variation de \(f\)
5. a) Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution a dans \(]0; +\infty[\)
   b) Vérifier que: \(2,22< \alpha < 2,23\)
6. Démontrer que pour tout réel \(x\) appartenant à \(]0; 1], -\ln 2 \leq f(x) < 0\)
7. Construire \((C)\) dans le repère \((0,I,J)\). On prendra \(\alpha = 2,22\)

Exercice 1:
Les suites d'entiers naturels \((x_n)\) et \((y_n)\) sont définies sur \(\Bbb N\) par:
\(x_0 = 3\) et \(x_{n+1}\) = \(2x_n-1\)
\(y_0 = 1\) et \(y_{n+1}\) = \(2y_n+3\)
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(x_n=2^{n+1}+1\)
2) a)Calculer le \(PGCD \) de \(x_8\) et \(x_9\) puis celui de \(x_{2002}\) et \(x_{2003}\).
Que peut-on déduire pour \(x_8\) et \(x_9\) d'une part, pour \(x_{2002}\) et \(x_{2003}\) d'autre part?
b) \(x_n\) et \(x_{n+1}\) sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel \(n\)?
3) a)Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(2x_n - y_n = 5\)
b) Exprimer \(y_n\) en fonction de \(n\).
c)En utilisant les congruences modulo \(5\), étudier suivant les valeurs de l'entier naturel \(p\) le reste de la division euclidienne de \(2^p\) par \(5\).
d) On note \(d_n\) le \(PGCD\) de \(x_n\) et \(y_n\) pour tout entier naturel \(n\). Démontrer que l'on a \(d_n = 1\) ou \(d_n = 5\); en déduire l'ensemble des entiers naturels \(n\) tels que \(x_n\) et \(y_n\) soient premiers entre eux.

Exercice 2:
A) Une urne contient boules blanches ( \(n ∈\Bbb N\) et \(n≥2\)), \(5\) boules rouges et \(3\) boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne.
1) Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches ?
2) On note \(p(n)\) la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
Montrer que \(p(n)= \frac {n^2-n+26}{(n+8)(n+7)}\)

B) Pour les questions suivantes, \(n=4\)
1) Calculer \(p(4)\)
2) Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de l'urne. Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l'urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois.
Il mise au départ la somme de \(30\) francs.
Pour chaque tirage :
-Si les deux boules sont de même couleur il reçoit alors \(40\) francs ;
-Si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors \(5\) francs;
On appelle gain du joueur la différence, à l'issue des deux tirages, entre la somme perçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut etre positif ou négatif). On désigne par \(X\) la variable aléatoire egale au gain du joueur.
a) Quelles sont les valeurs prises par \(X\)?
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer l'espérance de \(X\).

Partie A:
La fonction g est définie sur \(\Bbb R\) par \(g(x) = 2 e^x+ 2x - 7\)
1) Etudier les limites de \(g\) en \(-∞\) et en \(+∞\).
2) Etudier le sens de variation de la fonction sur \(\Bbb R\) et dresser son tableau devariation.
3) Justifier que l'équation \(g(x)=0\) admet dans une solution unique \(a\) tel que: \((0,940 Etudier le signe de \(g\) sur \(\Bbb R\)

Partie B:
La fonction f est définie sur \(\Bbb R\) par \(f(x) = (2x-5)(1-e^{-x})\).
On note \((C)\) la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal \((o,\vec i,\vec j)\)
1) Etudier le signe de \(f\) sur \(\Bbb R\).
2) Etudier les limites de \(f\) en \(-∞\) et en \(+∞\).
3) Calculer \(f'(x)\), ou \(f'\) désigne la fonction dérivée de \(f\), et vérifier que \(f(x)\) et \(g(x)\) ont le même signe. Dresser le tableau de variation de \(f\).
4) a) Démontrer l'égalité: \(f(a)=\frac {(2a-5)^2}{2a-7}\)
b) Etudier le sens de variation de la fonction \(h:x->\frac {(2a-5)^2}{2a-7}\) sur l'intervalle \(]-∞; \frac {5}{2}[\)
En déduire, à partir de l'encadrement de \(a\) obtenu dans la partie \(A\), un encadrement d'amplitude \(10^{-2}\) de \(f(a)\).
5) Démontrer que la droite \((D)\), d'equation \(y = 2x-5\), est asymptote à \((C)\) en \(+∞\).
Préciser la position de \((C)\) par rapport à \((D)\).
6) Tracer la droite \((D)\) et la courbe \((C)\) dans le repère \((O; \vec i, \vec j)\).(unité graphique 2cm)

Partie C:

A l'aide d'une intégration par parties, calculer en cm l'aire (A) de la portion du plan délimitée par la courbe ((C)), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation (x= \frac {5}{2}).

Partie D:

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à (3), on considère les points (A_n, B_n) et (C_n) d'abscisse (n) appartenant respectivement à l'axe des abscisses, à la droite ((D)) et à la courbe ((C)); soit (u_n) le réel défini par (u_n= \frac {C_nB_n}{A_nB_n})

1. Démontrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à (3), on a : (u_n= \frac {2n-5-f(n)}{2n-5})
   a) Quelle est la nature de la suite ((u_n))?
   b) Calculer la limite de la suite ((u_n)). Pouvait-on prévoir ce résultat?

Exercice 1 (5 pts)

1. a) Calculer \( (1+\sqrt 6 )^2; (1+\sqrt 6)^4; (1+\sqrt 6)^6\)
   b) Appliquer l'algorithme d'Euclide à \(847\) et \(342\). Que peut-on en déduire?
2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(a_n\) et \(b_n\) les entiers naturels tels que:\[(1+\sqrt 6)^n= a_n+b_ n\sqrt 6\]Que valent \(a_1\) et \(b_1\) ?
   D'après les calculs de la question 1) a) donner d'autres valeurs de \(a_n\) et \(b_n\).
   a) Calculer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_n\).
   b) Démontrer que, si \(5\) ne divise pas \(a_n + b_n\) alors \(5\) ne divise pas non plus \(a_{n+1} + b_{n+1}\).
   En déduire que, quelque soit \(n\) entier naturel non nul, \(a_n\) et \(b_n\) sont premiers entre eux.

Exercice 2 (11 pts)

Le plan est muni du repère orthonormé \((O,\vec {e_1},\vec {e_2})\).
À tout point \(M\) d'affixe \(z\), on fait correspondre le point \(M'\) d'affixe \(z'\) telle que \(z = z^2 - 4z\).

1. Calculer les coordonnées \((X;Y)\) du point \(M'\) en fonction des coordonnées \((X;Y)\) du point \(M\).
2. a) Démontrer que l'ensemble \((H)\) des points \(M\) du plan tels que \(z\) soit un nombre imaginaire pur est une hyperbole.
   b) Préciser dans le repère \((O,\vec {e_1},\vec {e_2})\), les coordonnées du centre \(O\), celles des sommets et les équations des asymptotes de \((H)\).
3. Soit \(P\) le point d'affixe \(-\frac{5}{2}-2i\)
   Déterminer les points \(M\) du plan tels que le quadrilatère \(OMM'P\) soit parallelogramme.

PROBLÈMES (11 points)

Étude préliminaire:

On considère la fonction \(g\) définie sur \([0;+∞[\) par: \( g(x)=ln(1+x)-x\).

1. Étudier le sens de variation de \(g\).
2. En dédure que pour tout réel \(a\) positif ou nul, \(ln(1+a) \leq a \)

PARTIE A:

On considère la fonction \(f_k\), définie sur \( [0;+\infty [\) par: \( f_1(x)=ln(e^x+x)-x\)

1. Calculer \( f_1'(x)\) pour tout réel x appartenant à l'intervalle \( [0;+\infty [\) et en déduire le sens de variation de la fonction \(f_1\).
2. Montrer que, pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \( [0;+\infty [\). En déduire la limite de \( f_1 \) en \(+∞ \)
3. Dresser le tableau de variation de \( f_1 \).

PARTIE B:

On considère la fonction \(f_k\) définie sur \( [0;+\infty [\) par \( f_k(x)=ln(e^x+kx)-x\) .

Soit \((C_K)\) la courbe représentative de la fonction \( f_k\) dans le plan muni d'un repère orthogonal \( (o,\vec i, \vec j)\) (unités graphiques: \(5cm\) sur l'axe des abscisses et \(10cm\) sur l'axe des ordonnées).

1. Calculer \( f_k'(x)\) pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle et en déduire le sens de variation de la fonction \(f_k\).
2. Montrer que pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \( [0;+\infty [, f_k'(x)=ln(1+k\frac{x}{e^x})\)
   En déduire la limite de \(f_k\) en \(+∞\).
3. a) Dresser le tableau de variation de \(f_k\).
   b) Montrer que pour tout réel x de \( [0;+\infty [\), on a \(f_k(x) \leq \frac k e\)
4. Déterminer l'équation de la tangente \((T_k)\) à \((C_K)\) au point \(O\).
   5) Soit \(p\) et \(m\) deux réels strictement positifs tels que \(p < m\). Étudier la position relative de \((C_p)\) et \((C_m)\).

6) Tracer les courbes \((C_1)\) et \((C_2)\) ainsi que leurs tangentes respectives \((T_1)\) et \((T_2)\) en \(O\).

PARTIE C:

Soit \(λ\) un réel strictement positif, on note \(A(λ)\) l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe \((C_K)\) et les droites d'équations \(x=0\) et \(x=λ\).

1. Sans calculer \(A(λ)\), montrer que: \(A(λ)\leq k \int_0^λxe^{-x}dx \)
   (on pourra utiliser le résultat de la question préliminaire).
2. Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale \(\int_0^λxe^{-x}dx \)
3. On admet que \(A(λ)\) admet une limite en \(+∞\). Montrer que \( ^\lim_{λ \to +\infty}A(λ) \leq k \)
   Interpréter graphiquement ce résultat.

Exercices 

Exercice A On considère les trois entiers naturels \(a, b, c \) qui s’écrivent dans la base \(n\) : \(a=111 , b=114, c=13054\)

1. Sachant que \(c=ab\), déterminer \(n\), puis l’écriture de chacun des nombres \(a,b,c\) dans le système décimal.
2. Vérifier, en utilisant l’algorithme d’Euclide, que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux. En déduire les solutions dans \( \Bbb Z^2\) de l’équation \(ax + by=1\).

Exercice B Une variable aléatoire \(X\) prend les valeurs \(1 ;-1\) et \(2\) avec les probabilités respectives \(e^a , e^b, e^c\) où \(a, b, c\) sont en progression arithmétique. On suppose que l’espérance mathématique \(E(X)\) de \(X\) est égale à \(1\).

1. Calculer \(a, b, c\) et la variance \(V(X)\) de \(X\).
2. Soit \(A,B, C\) trois points d’abscisses respectives \(1 ; -1\) et \(2\) d’une droite graduée \((∆)\).
   a) Calculer l’abscisse du point \(G\) barycentre de \( \{(A ;1), (B ;2), (C ;4)\} \).
   b) On pose : \( φ(M) = \frac{1}{7}(MA^2 + 2MB^2 + 4MC^2) \) où \(M\) est un point de \((∆)\). 
   Montrer que \(φ(M) = V(X)\).
   c) Déterminer l’ensemble \((Γ)\) des points \(M\) de \((∆)\) tels que \(φ(M) = 3\). 

PROBLEME
Partie A
On considère la fonction \(g\) dérivable sur \( \Bbb R\) et définie par : \(g(x)= (1−x)e^{1−x} − 1\)

1. a) Justifier que la limite de \(g\) en \(+\infty\) est \(−1\) b) Déterminer la limite de \(g\) en \(−\infty\)
2. a) Démontrer que pour tout \(x\) élément de \( \Bbb R, g'(x) = (x − 2)e^{1−x}\)
   b) Etudier les variations de \(g\) et dresser son tableau de variation.
3. a) Démontrer que l’équation \(x ∈ R,g(x) = 0\) admet une solution unique \(α\).
   b) En déduire que :
   \(∀x ∈] −\infty ; α [,g(x) > 0\)
   \( ∀x ∈]α ; +∞ [,g(x) < 0\)

Partie B
On considère la fonction \(f\) dérivable sur \( \Bbb R\) et définie par : \(f(x)=xe^{1−x} − x + 2\).
On note \((C)\) sa courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormé \((O, \vec i, \vec j)\). L’unité graphique est \(2 cm\).

1. Déterminer les limites de f en \(+∞\) et en \(−∞\).
2. a) Démontrer que \(f\) est une primitive de \(g\). 
   b) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
3. .a) Démontrer que la droite \((D)\) d’équation \(y=−x + 2\) est une asymptote oblique à \((C)\) en \(+∞\)